De reële getallen ( R ) zijn alle getallen die als decimaal getal te schrijven zijn. Dit zijn dus alle getallen die je je op een getallenlijn kunt voorstellen.
Het symbool voor de reële getallen is ℝ.
De verzameling is niet gesloten onder de bewerking delen: niet elke deling van twee gehele getallen levert opnieuw een geheel getal op, bijvoorbeeld 1/2 is een rationaal getal. De gehele getallen vormen een ring.
Letterlijk betekent het 'de rede betreffend'. Daarvan afgeleid is het Nederlandse zelfstandig naamwoord rationale, dat het idee achter of de reden voor een bepaalde handeling aangeeft, of standpuntbepaling betekent.
Voorbeelden en valkuilen:
32 en 758 zijn voorbeelden van rationale getallen. 1/3 en 40/5 zijn breuken en ook voorbeelden van rationale getallen. √3 is geen rationaal getal, omdat deze niet als breuk te schrijven is en een oneindig aantal niet-repeterende decimalen heeft wanneer uitgeschreven.
Dit zijn alle getallen, onder en boven en gelijk aan 0, zonder decimalen achter de komma, zoals -2, -1, 0, 1 ,2, ... De getallen -806 en 541 zijn bijvoorbeeld ook gehele getallen, maar 40,6 en -3,25 niet.
Ieder geheel getal is rationaal, zo is: , enzovoort.
De reële getallen ( R ) zijn alle getallen die als decimaal getal te schrijven zijn. Dit zijn dus alle getallen die je je op een getallenlijn kunt voorstellen. Er geldt: Q⊂R ℚ ⊂ ℝ . De irrationale getallen zijn de getallen die niet in Q zitten, maar wel in R .
Irrationale getallen
een irrationaal getal. Bij een irrationaal getal hoort een decimale breuk die niet-repeterend en oneindig is. Je kunt hier dus geen breuk van hele getallen bij vinden.
Definitie: Een rationaal getal is een quotiënt (een verhouding) van twee gehele getallen, waarvan het tweede getal verschillend is van nul. In decimale vorm kan een rationaal getal een aantal cijfers na de komma bevatten, maar er zal steeds een periode - een terugkerend gedeelte - zijn.
De verzameling van gehele getallen wordt voorgesteld door symbool Z en bevat naast de natuurlijke getallen ook de gehele negatieve getallen.
De verzameling van alle breuken (rationale getallen) noemt men Q. In het bijzonder zitten daar ook de hele getallen in, want die kun je ook als breuk schrijven.
Maar ook de reële getallen hebben een beperking: de wortel van een negatief getal kan niet worden uitgedrukt als reeël getal. In een grotere getallenverzameling, die van de complexe getallen C, kan dit weer wel.
Er zijn verschillende tekens voor vermenigvuldigen. Het maalteken, de vermenigvuldigingspunt en de asterisk (sterretje) worden alle drie weergegeven met de asterisk. Daar waar geen expliciet vermenigvuldigingsteken staat, wordt dat ook niet toegevoegd.
Naast rationale getallen zijn er ook nog getallen die niet als breuk geschreven kunnen worden. Denk bijvoorbeeld aan en π . Deze getallen die niet als breuk geschreven kunnen worden noem je de irrationale getallen. De rationale getallen en irrationale getallen samen vormen de reële getallen.
> betekent groter dan. ≤ betekent kleiner dan of gelijk aan. ≥ betekent groter dan of gelijk aan.
Omdat √5 irrationaal is (dat bewijs je net zo als de irrationaliteit van √2, volgt hieruit dat φ irrationaal is.
Conclusie: Uit de aanname dat je 2 kunt schrijven als breuk volgt een tegenspraak. Dat betekent dat de aanname fout is, oftewel dat 2 niet als breuk te schrijven is. 2 is dus een irrationaal getal.
√2 is een irrationaal getal dat bij benadering gelijk is aan: 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875.... (met overstreept repeterend deel) wordt als benadering van √2 gebruikt.
Een irrationaal getal is een getal met oneindig veel cijfers achter de komma, die zichzelf niet herhalen. een irrationaal getal. Bij een irrationaal getal hoort een breuk die niet-repeterend en oneindig is. Alle irrationale en rationale getallen samen vormen de reële getallen.
In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is een matrix, meervoud: matrices, een rechthoekig getallenschema.
Nul (0) wordt als even getal beschouwd.
Zo is een natuurlijke getal altijd positief, terwijl een geheel getal ook negatief kan zijn. Voorbeelden van gehele getallen zijn: 1, 2, 3, 10, 20 en 100, maar ook ook -15, -1000 en -4758. 0 is overigens ook een geheel getal.
Een priemgetal is alleen deelbaar door 1 en deelbaar door zichzelf. Een priemgetal heeft dus precies 2 delers.
Het getal 0: het is zowel wel/niet positief als negatief, je kan er niet door delen, vermenigvuldigen met 0 levert ook niets op. Maar waarom is 0 dan zo belangrijk in de wiskunde, in de ICT, etc?