Getallen als de wortel 2, π en e behoren niet tot de verzameling van rationale getallen, omdat ze niet als een breuk, dus als quotiënt van twee gehele getallen, kunnen worden geschreven. Deze getallen heten irrationaal.
Getallen die je als een breuk kunt schrijven, heten rationale getallen. Getallen zoals wortel 2 of pi, waarvoor dat niet kan, heten irrationale getallen.
Eigenlijk kent iedereen rationale getallen wel, rationale getallen zijn eigenlijk breuken waarbij zowel de teller als de noemer een geheel getal is. Een rationaal getal is dus altijd als breuk te schrijven. Ook het getal 5 is bijvoorbeeld als breuk te schrijven, namelijk als 5/1.
Handige regel!
Rationale getallen zijn alle getallen die te schrijven zijn als een breuk. Alle natuurlijke en gehele getallen vallen dus ook binnen deze regel!
Alle getallen die je als breuk kunt schrijven worden rationale getallen genoemd. De gehele getallen horen daar dus ook bij want die zijn als breuk te schrijven: 2 = 2/1.
De vierkantswortel van 2 wordt weergegeven als √2. De werkelijke waarde van √2 is onbepaald. De decimale uitbreiding van √2 is oneindig omdat het niet-beëindigend en niet-herhalend is . Elk getal dat een niet-beëindigende en niet-herhalende decimale uitbreiding heeft, is altijd een irrationeel getal.
Het is een irrationaal getal, wat inhoudt dat het niet exact als een breuk kan worden geschreven. Het betekent ook dat het een oneindig aantal decimalen heeft, zonder repetitieve gedeelten.
Rationale getallen
Zo is 10 bijvoorbeeld een rationaal getal. Dit kun je namelijk schrijven als 10/1. Omdat je -44 als -44/1 kunt schrijven, is dit eveneens een rationaal getal. Maar ook breuken zoals 1/2 en 1/4 zijn rationale getallen.
Nul is een neutrale waarde, het is noch een negatief noch een positief rationaal getal . Laten we hier leren wat positieve en negatieve rationale getallen zijn, samen met voorbeelden. Feiten: Alle positieve rationale getallen zijn groter dan nul.
Het is bekend dat pi een irrationaal getal is, wat wil zeggen dat het niet te schrijven is als een breuk, dus niet als verhouding van twee gehele getallen. Dat betekent ook dat de decimalen die na de komma volgen nooit een herhalend patroon zullen vertonen.
Dus -7 is zeker een rationaal getal. Het kan worden gerepresenteerd als de ratio van twee hele getallen.
c) 0. Stapsgewijze uitleg: 0 kan worden geschreven als 0/1, wat een rationaal getal is. Maar de andere drie getallen zijn de vierkantswortels van getallen die niet perfect kwadratisch zijn, dus ze zijn irrationele getallen.
Notatie: \relax a ∈ A betekent “ behoort tot ” of “ is een element van ”. Notatie: \relax a ∉ A betekent “ behoort niet tot ” of “ is geen element van ”.
Rationale getallen zijn dus eigenlijk getallen die geschreven worden als quotiënt van een geheel getal a en een natuurlijk getal b dat geen nul is. Dus a wordt gekozen uit de verzameling { ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3....} en b uit de verzameling {1, 2, 3, 4, 5....}.
De verzameling van de rationale getallen bevat alle getallen die te schrijven zijn als een deling van twee gehele getallen. Deze verzameling noem je Q .
Ieder geheel getal is rationaal, zo is: , enzovoort.
Rationale getallen worden geclassificeerd als positieve, nul of negatieve rationale getallen. Positieve rationale getallen worden gekenmerkt door dezelfde tekens voor de teller en noemer, ofwel beide positief ofwel beide negatief .
Een negatief getal is een getal dat kleiner is dan nul . Bijvoorbeeld, -7 is een getal dat zeven kleiner is dan 0. -7.
Een breuk is negatief als de teller, de noemer of beide een negatief teken hebben . Als de teller negatief is en de noemer positief, is de breuk als geheel negatief. Als de teller positief is en de noemer negatief, is de breuk als geheel negatief.
Ja, nul kan worden beschouwd als een breuk , specifiek als 0/1. Nul kan worden uitgedrukt als een breuk door de vorm 0/1 te gebruiken. In deze weergave is de teller 0, wat aangeeft dat er nul delen van het geheel zijn, en de noemer is 1, wat aangeeft dat het geheel is verdeeld in één gelijk deel.
Het is bekend dat Q aftelbaar is. Er zijn hiervoor talloze simpele bewijzen. Toch is het bewijs met behulp van de Calkin-Wilf enumeratie de moeite waard als je het nog niet eerder hebt gezien.
π is geen rationaal getal omdat de waarde van π 3,141592653589793238 is. Bovendien is het niet-beëindigend en niet-repeterend .
Bewijs dat √5 irrationaal is
.
- π (pi) is een irrationeel getal omdat de decimale ontwikkeling oneindig en niet-repeterend is . - 22/7 is een rationaal getal omdat het kan worden uitgedrukt als een breuk van twee gehele getallen. - Inzicht in het verschil tussen rationale en irrationale getallen helpt bij het waarderen van de diversiteit van getallen in de wiskunde.