Optellen: Kans op optreden van 'eerste of tweede' gebeurtenis Als de twee gebeurtenissen disjunct zijn: som van kansen Kansen kunnen we optellen en vermenigvuldigen Twee gebeurtenissen. De kans op een 6 bij 1 dobbelsteenworp is 1/6, dus bij het werpen van drie stenen is de kans 3/6=1/2 om minimaal een zes te zien.
Het begrip onafhankelijk wordt nog al eens verward met het begrip disjunct. Twee disjuncte gebeurtenissen A en B, dus met AB = ∅, kunnen echter alleen dan onderling onafhankelijk zijn, als een van beide kans 0 heeft, immers dan is P(A)P(B) = 0 = P(∅) = P(AB).
Om zijn kansen te bepalen bij bijvoorbeeld 2 doelpogingen maak je een boomdiagram zoals dit: één treffer naast drie missers bij elke poging. Door missers en treffers samen te voegen kun je het diagram vereenvoudigen tot een kansboom.
Als je k elementen kiest uit een verzameling van n elementen, waarbij ieder element hoogstens één maal wordt gekozen en waarbij niet gelet wordt op de volgorde dan heb je te maken met een combinatie. Het aantal combinaties kan worden berekend met de volgende formule: n k =n! (n−k)! k!
Als je voor elk cijfer keuze hebt uit 1, 2, 3 of 4 is het aantal mogelijkheden voor een code van n cijfers gelijk aan 4 tot de n-de. Bv: als de code uit 4 cijfers bestaat moet je vier keer kiezen uit 1, 2, 3, 4 en heb je 44 = 256 mogelkheden. Dat is in nood nog wel te doen, hoewel er leukere bezigheden bestaan.
De knop nCr gebruik je als je wilt berekenen hoeveel verschillende combinaties je kunt maken als je r objecten kiest uit een verzameling van n objecten, maar hierbij speelt de volgorde van de keuze geen rol. Concreet: als je uit 12 voorwerpen er 5 mag kiezen, dan kun je 12 nCr 5 verschillende vijftallen kiezen.
Het begrip disjunctie wordt nu overgeheveld naar de kansrekening: twee gebeurtenissen worden disjunct genoemd wanneer de twee gebeurtenissen niet tegelijkertijd kunnen optreden.
Twee gebeurtenissen die niet onderling onafhankelijk zijn heten onderling afhankelijk. Meestal zegt men kort dat de gebeurtenissen (on)afhankelijk zijn in plaats van onderling (on)afhankelijk.
Als (S,P) een kansruimte is en B een gebeurtenis met P(B) > 0, is de voorwaardelijke kans P(. |B) zowel een kans op S als op B. Uit de definitie van voorwaardelijke kans volgt direct voor twee gebeurtenissen A en B: P(AB) = P(A)P(B|A).
Want als je zou zeggen dat de kans om een 6 te gooien bij 6 keer gooien 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ 1/6+ = 6/6 = 1, terwijl als je zes keer gooit je niet per se een 6 gooit.
Met behulp van de tekening is nu de volgende tabel te maken: uitkomst kans totaal 21 = Mexicaan 1/18 1 x 1/18 11, 22, 33, 44, 55, 66 1/36 6 x 1/36 31 ……………………… 65 1/18 14 x 1/18 1 Zo zien we dat de kans op 31 even groot is als de kans op een Mexicaan (21).
We weten dat het totale aantal mogelijkheden bij het gooien met twee dobbelstenen 36 is.
Een passieve onafhankelijke variabele kan niet gemanipuleerd worden. Voorbeelden daarvan zijn lichaamslengte, leeftijd of geslacht. In de bovenstaande figuur zie je dat de onafhankelijke variabele (motivatie) invloed heeft op de afhankelijke variabele (werkprestatie).
Als voor twee gebeurtenissen A en B geldt dat P(A|B)=P(A) of P(B|A)=P(B) dan heten de gebeurtenissen A en B onafhankelijk (mits de kansen niet nul zijn!).
Kansrekening is, mits zorgvuldig gebruikt, een mach- tig hulpmiddel bij zeer uiteenlopend wetenschappelijk onderzoek. Bij het gebruik van kanstheoretische model- len moet altijd bekeken worden of het model in de speci- fieke situatie relevant is. Uiteindelijk is kansrekening zin- vol als het werkt.
De unie is de kleinste verzameling waarvan zowel als deelverzamelingen zijn. Disjuncte verzamelingen, de disjuncte unie, en kan je als volgt voorstellen met Venndiagrammen: Er zijn enkele voor de hand liggende eigenschappen voor doorsnedes, unies en verschillen met zichzelf of de lege verzameling.
Een combinatie is een selectie uit een aantal elementen, oftewel een deelverzameling. Het aantal verschillende manieren waarop je zo'n selectie kunt samenstellen, waarbij de volgorde binnen de selectie niet belangrijk is, is dus het aantal combinaties.
Als we 10 cijfers hebben waar we 3 keer een cijfer uit halen (zonder hetzelfde cijfer te gebruiken), praten we over 10 boven 3, ook wel 3 uit 10 genoemd.
Allerlei combinaties
Omdat een pincode uit vier cijfers bestaat, zijn er 10x10x10x10 pincodes mogelijk. Dat zijn er dus 10.000. Pincodes zoals 1111, 1234 en 4444 worden als onveilig beschouwd. Er zijn daarom iets minder dan 6561 (9x9x9x9) pincodes in omloop.
Als je (zoals je schrijft in je toelichting) de cijfers 1, 2, 3, 4 en 5 hebt dan kan je daarmee 5! =120 verschillende getallen van vijf cijfers maken.
Daarbij noemt hij vijfcijferige inlogcodes of het gebruiken van een vingerafdrukscanner in een telefoon. Dat de Rabobank een 5-cijferige pincode veilig noemt is opmerkelijk.
Zes cijfers kan je ordenen op 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720 mogelijkheden.